東大宮教室のメッセージ
式の計算の利用①（中３）を学ぼう
2024.04.24
1⃣ 整数の性質の証明
（例題）
（例題）
連続した３つの整数で、それぞれの２乗の和に１を加えた数は、３の倍数になる。
このことを証明しなさい。
（解き方）
３つの整数を１つの文字を使って表し、式の計算を利用する。
（証明）
中央の整数をｎとすると、３つの整数は、ｎ－１、ｎ、ｎ＋１と表される。
このとき、それぞれの２乗の和に１を加えた数は、
（ｎ－１）²＋ｎ²＋（ｎ＋１）²＋１＝ｎ²－２ｎ＋１＋ｎ²＋ｎ²＋２ｎ＋１＋１
＝３ｎ²＋３
＝３（ｎ²＋１）
ｎ²＋１は整数だから、これは３の倍数である。
このことを証明しなさい。
（解き方）
３つの整数を１つの文字を使って表し、式の計算を利用する。
（証明）
中央の整数をｎとすると、３つの整数は、ｎ－１、ｎ、ｎ＋１と表される。
このとき、それぞれの２乗の和に１を加えた数は、
（ｎ－１）²＋ｎ²＋（ｎ＋１）²＋１＝ｎ²－２ｎ＋１＋ｎ²＋ｎ²＋２ｎ＋１＋１
＝３ｎ²＋３
＝３（ｎ²＋１）
ｎ²＋１は整数だから、これは３の倍数である。