2⃣ 展開や因数分解を利用した計算
乗法の公式や因数分解を利用すると、答えが簡単に求められることがある。
（例題）
（１）３５²－１５² ↴ 公式４'
＝（３５＋１５）（３５－１５）
＝５０×２０
＝１０００
（２）５１²＝（５０＋１）² ↴ 公式２'
＝５０²＋２×５０×１＋１²
＝２６０１
1⃣ 整数の性質の証明
（例題）
連続した３つの整数で、それぞれの２乗の和に１を加えた数は、３の倍数になる。
このことを証明しなさい。
（解き方）
３つの整数を１つの文字を使って表し、式の計算を利用する。
（証明）
中央の整数をｎとすると、３つの整数は、ｎ－１、ｎ、ｎ＋１と表される。
このとき、それぞれの２乗の和に１を加えた数は、
（ｎ－１）²＋ｎ²＋（ｎ＋１）²＋１＝ｎ²－２ｎ＋１＋ｎ²＋ｎ²＋２ｎ＋１＋１
＝３ｎ²＋３
＝３（ｎ²＋１）
ｎ²＋１は整数だから、これは３の倍数である。
2⃣ いろいろな因数分解（２）
（例題）次の因数分解をしなさい。
（１）(χ＋y)²＋４(χ＋y)＋３ （２）χ²＋２χ＋１－ｙ²
（解き方）
（１）χ＋ｙを１つの文字におきかえて考える。
χ＋ｙ＝Mとおくと、
(χ＋y)²＋４(χ＋y)＋３＝ M²＋４M＋３
＝ (M＋1)(M＋3) ⇦ 公式１'
＝(χ＋y＋1)(χ＋y＋3)
答 (χ＋y＋1)(χ＋y＋3)
（２）まず、χ²＋２χ＋１を因数分解する。
χ²＋２χ＋１－ｙ²＝ (χ＋y)²－ｙ²
χ＋１＝Mとおくと、
(χ+y)²－ｙ²＝ M²－ｙ²
＝ (M＋y)(M－y) ⇦ 公式４'
＝ (χ＋1＋y)(χ＋1－y)
答 (χ＋1＋y)(χ＋1－y)
いろいろな因数分解
1⃣ いろいろな因数分解（１）
（例題）次の式を因数分解しなさい。
(1) ３χ²－１５χ＋１２ (2) a χ²－４a
（解き方）共通因数をとり出し、さらに、かっこの中の式を因数分解する。
(1) ３χ²－１５χ＋１２ (2) a χ²－４a
＝ ３( χ²－５χ＋４) ⇦ 共通因数は３ ＝ a ( χ²－４ ) ⇦ 共通因数は a
＝ ３( χ－1 )( χ－４ ) ⇦ 公式１' ＝ a( χ＋2 )( χ－2 ) ⇦ 公式４'
答 ３( χ－1 )( χ－４ ) 答 a( χ＋2 )( χ－2 )
4⃣ (χ+a)(χ＋b)＝χ²＋(a＋b)χ＋ab の利用
（例題）次の因数分解をしなさい。
(1) χ²＋６χ＋８ (2) χ²－５χ－６
（解き方）乗法の公式Ⅰを逆に使って因数分解する。
公式Ⅰ' χ²＋(a＋b)χ＋ab ＝ (χ+a)(χ＋b)
(1) χ²＋６χ＋８ (2) χ²－５χ－６
a+b ab a+b ab
χ²＋６χ＋８＝ (χ+2)(χ+4） χ²－５χ－６＝ (χ+1)(χ－6)
答 (χ+2)(χ+4） 答 (χ+1)(χ－6)
